Формула количества диагоналей n угольника

Диагональ (греч. διαγώνιος; от δια- «через» + γώνια «угол») — в математике имеет У выпуклого многоугольника диагонали проходят внутри него. Многоугольник выпуклый тогда и только тогда, когда его диагонали лежат внутри. Пусть n 

Несомненно, самым замечательным математическим фактом является тождество . В нем удивительным образом сошлись, казалось бы, совершенно не связанные константы из разных областей математики. Доказать это тождество не так сложно, но объяснить его, понять глубинный смысл, удается немногим.
В качестве еще одного замечательного факта хотелось бы вспомнить числа Каталана, которые удивительным образом всплывают в самых разных комбинаторных задачах. К сожалению, они выпадают из рассмотрения типовой школьной программы, но уверен, что любой специалист компьютерных наук должен быть знаком с ними.
Само число Каталана выражается формулой C(n) = (2n)!/n!(n+1)!, где восклицательный знак, как обычно, обозначает факториал. Начало последовательности выглядит так: 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796… Английская Википедия утверждает, что известно, как минимум 66 различных конструкций, которые приводят к появлению чисел Каталана. Вот некоторые из них:
• Правильные скобочные последовательности – наборы открывающихся и закрывающихся скобок, в которых каждой открывающейся скобке соответствует закрывающаяся. Число возможных последовательностей с фиксированным числом пар скобок выражается числом Каталана. Например, 14 правильных последовательностей из четырех пар скобок:
(((()))), ((()())), ((())()), ((()))(), (()(())), (()()()), (()())(),
(())(()), (())()(), ()((())), ()(()()), ()(())(), ()()(()), ()()()()
• Двоичные деревья – деревья, из каждого узла которых (кроме листьев) выходит ровно две ветки. Количество бинарных деревьев с заданным числом листьев – число Каталана. На рисунке представлены пять деревьев с 4 листьями в каждом.
Такие деревья уже обсуждались на Хабре
• Любые деревья. Число неизоморфных деревьев с заданным числом вершин также равно числу Каталана. Такие деревья тоже обсуждались
• Монотонные пути в квадрате – маршруты из левого нижнего угла квадрата в правый верхний, которые идут по линиям сетки вверх или вправо и не заходят выше диагонали. На рисунке все такие пути для квадрата 3x3.
• Триангуляции многоугольника. Количество различных триангуляций выпуклого многоугольника диагоналями равно числу Каталана.
• Разбиение вершин многоугольника на пары. Четное число точек на окружности можно объединить в пары непересекающимися хордами. Число способов таких объединений также равно числу Каталана.
• Таблица Юнга – прямоугольник, заполненный последовательными числами так, чтобы они возрастали во всех строках и столбцах. Число таблиц Юнга размером 2xn также выражается числом Каталана.

Для выпуклого n-угольника сумма углов равна 180°(n-2). Доказательство. Проведем все диагонали многоугольника из вершины A 1. Они разбивают 

Для каждой из этих конструкций можно либо по индукции, либо реккурентными соотношениями доказать, что число соответствующих объектов выражается числом Каталана. Не буду останавливаться на этих доказательствах – их можно найти в учебниках по дискретной математике. Также есть некоторые замечательные соотношения, которые можно получить, используя некоторые из упомянутых построений. Но это требует написания громоздких формул, чего хотелось бы избежать. Сейчас интереснее другое – неужели совпадение всех этих количеств для совершенно разных вещей случайность?
Конечно же, нет. Связь этих конструкций гораздо глубже. Можно построить взаимнооднозначное соответствие между этими объектами и некоторые из таких соответствий я попробую продемонстрировать. Помимо простого любопытства это имеет и некоторую практическую ценность. Например, задачу о генерации всех бинарных деревьев (решение которой в лоб неочевидно) можно свести к гораздо более простой задаче о генерации скобочных последовательностей. Соответствие 1
Очень легко построить соответствие между скобочными последовательностями и монотонными путями в квадрате. Читая скобочную последовательность слева направо, будем строить путь, начав из левого нижнего угла, – для каждой открывающейся скобки нарисуем горизонтальный отрезок, для закрывающейся скобки – вертикальный.
Так как в последовательности было равное число открывающихся и закрывающихся скобок, то путь в итоге закончится в правом верхнем углу, а тот факт, что каждая открывающаяся скобка стоит раньше соответствующей ей закрывающейся скобки (ведь последовательность — правильная) гарантирует нам, что путь не перейдет в верхнюю половину квадрата. Очевидно, что это построение обратимо и из каждого монотонного пути можно получить скобочную последовательность.
На приведенном рисунке соответствующие скобки и отрезки отмечены одним цветом. Хорошо заметно, что отрезки, соответствующие одной паре скобок «видят друг друга»: Соответствие 2
В качестве второй задачи построим соответствие между правильными скобочными последовательностями и таблицами Юнгам 2xn. Тут тоже все просто. Пронумеруем скобки слева направо. Если скобка открывающаяся, то соответствующее ей число пишем в верхнюю строку. Если закрывающаяся, то в – нижнюю. Так как i-ая открывающаяся скобка всегда стоит левее i-ой закрывающейся, то число соответствующее открывающейся скобке будет меньше числа, соответствующего закрывающей. А значит, верхнее число в таблице окажется меньше нижнего в той же колонке, то есть из правильной скобочной последовательности мы получили таблицу Юнга. Это построение также обратимо, а значит получено взаимно-однозначное соответствие. Соответствие 3

8) Сколько сторон и диагоналей в выпуклом пятнадцатиугольнике? конца), получим ответ: число сторон и диагоналей n-угольника равно. n(n – 1)/2. Дж. Стирлингом формула для приближённого вычисления: n! ~ (2pn)1/2nn/en. количество способов ранжировать трёх начальников, то есть количество 

Теперь займемся бинарными деревьями. Очень легко увидеть соответствие между бинарными деревьями и расстановками скобок в выражении с однородными операциями, но это дает несколько другие последовательности. Для привязки бинарных деревьев к правильным скобочным последовательностям надо воспользоваться несколько другим подходом. Воспользуемся стандартным обходом дерева и пронумеруем вершины (корень примем за 0) в порядке обхода. Теперь, если при переходе к числу I мы спустились от родителя к ребенку, то на i-ое место ставим открывающуюся скобку. В противном случае ставим закрывающуюся.
Дерево – бинарное, поэтому у каждого узла есть сосед. А значит, спустившись к ребенку и поставив открывающуюся скобку, мы рано или поздно доберемся до его соседа и поставим закрывающуюся скобку. Это гарантирует правильность получившейся последовательности. Построение легко обратить и взяв за основу скобочную последовательность получить бинарное дерево.
Заметим, что если в скобочной последовательности n пар то соответствующее дерево имеет n+1 лист. Соответствие 4
Для построения соответствия между триангуляциями многоугольника проще всего использовать бинарное дерево. На этот раз мы занумеруем в нем все листья слева направо (остальные узлы пометим буквами). Для триангуляции возьмем многоугольник, в котором вершин на одну больше, чем листьев в дереве. Одну из сторон этого многоугольника отметим, как стартовую, а остальные занумеруем (для наглядности – против часовой стрелки).
Далее выполняем следующую процедуру – если две вершины дерева соседние, то соответствующие стороны многоугольника «стянем» диагональю, которую пометим той буквой, которой помечен родитель этой пары узлов в дереве. Далее продолжаем процедуру «стягивания» пока от многоугольника не останется единственный стартовый отрезок.
Как можно заметить три стороны каждого треугольника в получившемся разбиении соответствуют одному родительскому узлу и двум его потомкам. Поэтому, если взять два разных дерева, то получится два разных разбиения. Вместо эпилога
Ну и в заключение приведу табличку, в котором изображено соответствие объектов для третьего числа Каталана. Метки:
• Математика
Добавить метки Пометьте публикацию своими метками Метки лучше разделять запятой. Например: программирование, алгоритмы
Физический факультет, кафедра физико-технической информатики. Для меня странно звучит фраза «общеобразовательная программа для вуза». В вузе у всех специальность, о каком общем образовании речь? Ну можно говорить об общеобразовательной психологии или физкультуре на технических специальностях. Теория чисел наверняка есть на математических факультетах на соответствующих направлениях.
Я понимаю, что числа Каталана не у всех были, а если у кого и было, многие успели забыть. Статья, безусловно, полезная, я даже плюсанул её :-)
Если вдруг кому-либо интересно доказательство:
1. Для доказательства нам потребуется формула Эйлера (e^ix=cos(x)+i( x/1! — x^3/3! + ..)
Очевидно sin(x)
2. Получим формулу Эйлера, для этого положим x = pi
e^isin(pi)
e^i0
e^i — см. разложение sin(x) и cos(x) в ряд Тейлора
Труднее всего понять, «почему». Причём вопросы идут по возрастающей — почему перемещения и подобия плоскости — линейная функция на C. Почему, если добавить инверсию, получатся дробно-линейные функции, а значит, ничего кроме перемещений, подобий и инверсий мы не получим (нет, доказать это легко — но почему оно сработало?) Почему такая связь между С и гармоническими функциями и конформными отображениями. Почему теорема Лиувилля не работает для плоскости. Почему С алгебраически замкнуто, а R нет, и как это повлияло на существование нашего мира. И как комплексные числа влезли в теорию волновых функций. Почему перемещения плоскости описываются в удобных терминах комплексных чисел, для пространства приходится обращаться к некоммутативным кватернионам, а дальше — вообще жить с матрицами.
e iπ=-1 — как без рисунка написать формулу Эйлера. Если бы Times New, то «пи» выглядело бы пучше, как в книжках, но Хабр не позволяет.
C формулами и картинками, всё же, понятнее, как здесь, en.wikipedia.org/wiki/Catalan_number.
А без формул остаётся впечатление загадочности и невыводимости их. И там же — все эти примеры скобок, комбинаций треугольников. Потом, тут mathworld.wolfram.com/CatalanNumber.html неплохо рассказали. Но на русском, действительно, до сих пор не было хорошо иллюстрированной статьи по этим числам.
Правильные скобочные последовательности очень напоминают задание которое бы

Сумма углов выпуклого многоугольника равна180(n-2), где n - количество вершин (сторон). Количество диагоналей в таком многоугольнике можно определить по формуле У 17-угольника для начала вычислим кол-во углов: 180*(n-2)=2700 (это формула нахождения суммы величин углов выпуклого 

Решение. Пусть задан произвольный выпуклый n-угольник M(n) с вершинами,  В принципе, рекуррентная формула (19) уже пригодна для нахождения  то общее количество диагоналей разбиения будет равно (3×(n-2)-n)/2=n-3.

Для этого, понятно, помимо длин сторон многоугольника, надо знать еще и длины диагоналей BD и AD, но это и все что нужно — площадь любого